======================================================================
= Direkte Numerische Simulation =
======================================================================
Introduction
======================================================================
Direkte Numerische Simulation, kurz DNS, bezeichnet eine
Berechnungsmethode der Strömungsmechanik zur rechnerischen Lösung der
vollständigen instationären Navier-Stokes-Gleichungen. Sie
unterscheidet sich von anderen Berechnungsmethoden der
Strömungsmechanik dadurch, dass kleinskalige turbulente Schwankungen
numerisch in Raum und Zeit aufgelöst und nicht durch Turbulenzmodelle
dargestellt werden.
Aufgrund der zeitlich variierenden, räumlich kleinen Schwankungen in
einer turbulenten Strömung ist neben der hohen räumlichen Auflösung
eine instationäre Betrachtungsweise für die detaillierte Beschreibung
der physikalischen Vorgänge erforderlich. Die DNS ist damit die
genaueste Methode, Strömungen zu berechnen; sie stellt allerdings auch
die höchsten Anforderungen an das numerische Verfahren sowie an die
zur Verfügung stehende Rechenleistung. Deshalb findet die DNS
hauptsächlich in der Grundlagenforschung Verwendung. Ein großer
Anwendungsbereich ist der laminar-turbulente Umschlag, unter dem man
den Übergang von einer glatten stationären Strömung in den
quasichaotischen turbulenten Zustand versteht. Des Weiteren wird die
DNS in den Bereichen Ablöseblasen, vollturbulente Strömungen und
Aeroakustik eingesetzt und dient auch der Weiterentwicklung von
Turbulenzmodellen.
Zugrunde liegende Gleichungen
======================================================================
Strömungsfelder verhalten sich gemäß der Navier-Stokes-Gleichungen.
Für niedrige Geschwindigkeiten bei einer Mach-Zahl kleiner als 0,3
reicht es in der Regel, die Navier-Stokes-Gleichungen für
inkompressible Fluide anzuwenden. Sie bestehen im Wesentlichen aus
drei Transportgleichungen, den Impulsgleichungen in den drei
Raumrichtungen. Aus der Massenerhaltung ergibt sich für inkompressible
Strömungen die Divergenzfreiheit der Geschwindigkeit. Mit zunehmender
Geschwindigkeit spielen Kompressibilitätseffekte zunehmend eine Rolle,
so dass die Navier-Stokes-Gleichungen für kompressible Fluide
anzuwenden sind. Diese sind auch erforderlich, wenn zum Beispiel
aeroakustische Phänomene untersucht werden sollen, da sich nur bei
Berücksichtigung der Kompressibilität eine endliche
Schallgeschwindigkeit ergibt. Da die Navier-Stokes-Gleichungen für
kompressible Strömungen durchgehend Transportgleichungen sind, gibt es
im Gegensatz zu den Gleichungen für inkompressible Fluide keine
elliptischen Terme. Je nach Anwendungsfall können zusätzliche
Gleichungen mit einbezogen werden. So spielen etwa im Hyperschall bei
hoher Mach-Zahl chemische Reaktionen wie Dissoziation von Molekülen
oder Ionisation von Atomen eine Rolle.
Physikalische Prozesse
======================================================================
Da in einer DNS das Strömungsfeld ohne Turbulenzmodell berechnet
werden soll, lassen sich die vom Verfahren zu erfassenden
strömungsmechanischen Vorgänge am anschaulichsten anhand des
laminar-turbulenten Umschlags beschreiben. Unter dem Begriff Umschlag,
auch Transition genannt, versteht man hierbei den Übergang von einer
ursprünglich laminaren stationären Strömung zu einem turbulenten
Zustand, der von kleinskaligen nahezu chaotischen Schwankungen
bestimmt ist. Die Ursache hierfür ist eine Instabilität der Strömung
gegenüber kleinen Störungen, die abhängig vom jeweiligen
Strömungszustand ab einer gewissen Reynolds-Zahl existiert. Bereits
mit Hilfe der Linearen Stabilitätstheorie lassen sich die Frequenzen
der angefachten Störungen und deren Anfachungsraten sehr gut für ein
gegebenes stationäres Strömungsfeld vorhersagen. Für eine
inkompressible Plattengrenzschicht ohne Druckgradient ergeben sich z.
B. angefachte Störungen ab einer Reynolds-Zahl von Re⋅x ≈ 91.000,
wobei x die Koordinate in Strömungsrichtung mit ihrem Ursprung an der
Plattenvorderkante darstellt. Anstelle der Stromabkoordinate wird
häufig die lokale Verdrängungsdicke δ1 der Grenzschicht verwendet.
Damit ergibt sich eine kritische Reynolds-Zahl von Reδ1=520, ab der
das erste Mal angefachte Störungen existieren. Diese angefachten
Störungen, Tollmien-Schlichting-Wellen genannt, wachsen in
Stromabrichtung exponentiell an. Erreichen die Instabilitätswellen
eine merkliche Amplitude, sind sie nicht mehr unabhängig voneinander
zu betrachten, sondern wechselwirken miteinander. In den
Navier-Stokes-Gleichungen ergibt sich dies aus den nichtlinearen
Termen. Unterteilt man eine Größe 'U' in ihren stationären Anteil u0
sowie den instationären Anteil 'u', so ergibt sich aus einem
nichtlinearen Term
:
Nimmt man für den instationären Anteil eine Welle der Form
:
mit der Wellenzahl α, so ergibt sich aus dem Produkt von 'u' mit sich
selbst
:
das heißt, es werden Wellen mit der doppelten Wellenzahl generiert.
Die nichtlineare Generierung bewirkt ein Anwachsen auch von eigentlich
linear gedämpften Störungen. Zunehmend kurzwelligere Störungen
erreichen nichtlineare Amplituden und ziehen Energie aus den gröberen
Skalen ab. Da die zweite Raumableitung einer Welle proportional zum
Quadrat der Wellenzahl ist, wirkt für kurzwelligere Störungen jedoch
zunehmend die Viskosität der Generierung entgegen.
Je nach eingebrachten Störungen ergeben sich unterschiedliche
Wirbelstrukturen im nichtlinearen Bereich. So wird bei der
Grenzschicht zwischen K-Typ (nach Philip Klebanoff), H-Typ (nach
Thorwald Herbert) und Oblique (englisch für schief) unterschieden. In
den Spätstadien der Transition brechen die großen Wirbelstrukturen auf
und es ergibt sich ein chaotisches Bild aus kleinen Wirbeln.
Zweidimensionale DNS sind nur in Ausnahmefällen sinnvoll. Generell
gilt, dass eine 2D-Turbulenz nicht existiert. Deshalb ist es für eine
DNS im Allgemeinen notwendig, die vollen dreidimensionalen
Navier-Stokes-Gleichungen zu simulieren, was einen entsprechend hohen
Rechenaufwand bedeutet.
Vergleich mit anderen Methoden
======================================================================
Von einer DNS spricht man, wenn alle relevanten Skalen räumlich und
zeitlich aufgelöst werden. Dies bedeutet, dass Wellenzahlen soweit
sauber abgebildet werden müssen, bis nur mehr der Einfluss der
Viskosität der nichtlinearen Generierung entgegenwirkt. Andere
Methoden der numerischen Strömungsmechanik betrachten die
instationären Vorgänge der Turbulenz entweder eingeschränkt oder
überhaupt nicht. Bei der Large-Eddy-Simulation (LES, im deutschen auch
Grobstruktursimulation) beschränkt man sich auf die groben turbulenten
Skalen, indem man räumlich gefilterte Strömungsgrößen betrachtet. Der
Einfluss der nicht mehr aufgelösten Skalen wird durch sogenannte
Subgridscale-Modelle abgebildet. Da diese Modelle im Wesentlichen
künstliche Viskosität einbringen, kann eine unteraufgelöste DNS auch
als LES angesehen werden.
Im Gegenzug dazu werden bei RANS-Rechnungen (englisch für
Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen) keinerlei turbulente
Schwankungen aufgelöst, sondern vollständig durch Turbulenzmodelle
modelliert. Mit den zeitlich gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen
werden auch andere Gleichungen als bei DNS und LES gelöst, weshalb ein
RANS-Ergebnis auch bei beliebig feiner Auflösung nicht gegen die
exakte Lösung der direkten numerischen Simulation konvergiert.
Diskretisierungsverfahren in der DNS
======================================================================
Skizze eines Integrationsgebietes für die DNS einer
Plattengrenzschicht.
Aufgabe eines numerischen Verfahrens zur Direkten Numerischen
Simulation ist es somit, instationäre Wellenprozesse ausreichend fein
in Raum und Zeit aufzulösen. Außerdem ist auf passende Randbedingungen
zu achten, um ein nicht unnötig großes Rechengebiet zu benötigen sowie
um Reflexionen an den Rändern zu vermeiden. Typischerweise sind
zusätzlich Störungen einzuleiten. Grundsätzlich sind zwar Störungen
bereits immanent im Verfahren enthalten (z. B. Diskretisierungsfehler,
Näherungen in den Anfangs- und Randbedingungen oder Rundungsfehler),
jedoch ist das Ergebnis dann abhängig vom verwendeten Rechengitter und
für Rundungsfehler sogar vom verwendeten Rechner. Außerdem möchte man
bei einer DNS den Einfluss von unterschiedlichen Störungen
untersuchen.
Aufgrund des hohen Rechenaufwandes beschränkt man sich bei der DNS
üblicherweise auf periodische Randbedingungen in der dritten
Raumrichtung. Für die Grenzschicht an einer ebenen Platte bedeutet
dies, dass von einer unendlichen Ausdehnung in Quer- beziehungsweise
Spannweitenrichtung ausgegangen wird. Bei rotationssymmetrischen
Körpern entspricht die Spannweitenrichtung dann der Umfangsrichtung.
Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft ein Integrationsgebiet für
die Plattengrenzschicht.
Da der Erfolg einer DNS wesentlich von der Fähigkeit abhängt, Wellen
ausreichend exakt zu transportieren,
sind entsprechende Anforderungen an die Numerik zu stellen. Bei der
Raumdiskretisierung sind gute
Dispersions- und Dissipationseigenschaften zu erreichen, weshalb fast
ausschließlich Verfahren hoher Ordnung verwendet werden.
Für die spannweitige Richtung ist aufgrund der Periodizität ein
Spektralansatz geeignet, da dieser ideal für den Wellentransport ist.
In nicht-periodischen Raumrichtungen ist ein spektraler Ansatz zwar
möglich, jedoch sind Diskretisierungsmethoden, die nicht auf
periodischen Randbedingungen basieren, praktikabler. Beispiele dafür
sind Finite Differenzen oder Finite Volumen. Häufig werden in
DNS-Codes Finite Differenzen verwendet, da sie auf strukturierten
Gittern die schnellste Methode zur Berechnung von Raumableitungen
hoher Ordnung sind.
Aufgrund der stetigen Generierung von höherharmonischen Wellen ist es
für die Stabilität einer Rechnung erforderlich, kurzwellige Störungen
zu entfernen. Das Problem der kurzwelligen Anteile ist, dass auf einem
gegebenen Gitter nur Wellen bis zu einer bestimmten Wellenzahl
aufgelöst werden können. Werden jedoch Wellen mit Wellenzahlen
oberhalb dieser Grenze generiert, so werden diese zu gewissen Anteilen
auf niedrigere Wellenzahlen abgebildet (sogenanntes Aliasing), was im
Allgemeinen zum Absturz des Verfahrens führt. Auch für die
Wellentransporteigenschaften jeder räumlichen Diskretisierung
existiert eine Aliasing-Grenze. Für Wellenzahlen oberhalb dieser
Aliasing-Grenze ergibt sich eine negative Gruppengeschwindigkeit, das
heißt diese instationären Anteile laufen entgegen der physikalisch
richtigen Transportrichtung. Ab welcher Wellenzahl dies auftritt,
hängt von der Art und der Ordnung des Verfahrens ab. Mit zunehmender
Ordnung wandert die Aliasing-Grenze zu höheren Wellenzahlen.
Prinzipiell ist ein Entfernen der kurzwelligen Anteile auch durch eine
entsprechend hohe räumliche Auflösung möglich. In diesem Fall sorgt
die Viskosität für eine Dämpfung dieser Anteile. Dies ist jedoch nicht
praktikabel, da dies eine allzu große räumliche Auflösung erfordert.
Gängige Methoden zum Dealiasing sind räumliche Filterung mit einem
Tiefpassfilter, Upwinding oder eine abwechselnde Gewichtung der
Diskretisierung. Bei einer spektralen Diskretisierung sind die Anteile
in Abhängigkeit von der Wellenzahl gegeben. Dealiasing erfolgt dann
einfach durch Nullsetzung hoher Wellenzahlen (üblicherweise ab 2/3 der
maximalen Wellenzahl.)
Aus den Navier-Stokes-Gleichungen ergibt sich mittels der
Raumdiskretisierung die Zeitableitung der einzelnen Größen.
Prinzipiell kann die Zeitintegration mit expliziten oder impliziten
Verfahren durchgeführt werden. Bei einer expliziten Zeitintegration
ist das Zeitschrittlimit für eine stabile Simulation einzuhalten. Je
nachdem, ob konvektive oder viskose Terme überwiegen, skaliert der
Zeitschritt proportional oder quadratisch mit der räumlichen
Auflösung. Häufig wird das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung für die
Zeitintegration angewendet, da es hervorragende Eigenschaften
bezüglich Genauigkeit und Stabilität aufweist. Implizite Verfahren
haben zwar den Vorteil, (zumindest prinzipiell) kein Zeitschrittlimit
zu besitzen, jedoch erfordern sie einen deutlich höheren Rechenaufwand
pro Zeitschritt. Wählt man den Zeitschritt so grob, so dass sich ein
implizites im Vergleich zu einem expliziten Verfahren lohnt, so dämpft
die implizite Integration nahezu alle Instabilitätswellen weg. Aus
diesem Grund werden implizite Integrationsverfahren bei DNS-Codes in
der Regel nicht angewendet. Eine Ausnahme davon stellen kompressible
Rechnungen bei niedriger Mach-Zahl dar, bei denen der Zeitschritt
eines expliziten Verfahrens sehr fein sein muss.
Aufgrund des hohen Rechenaufwandes ist es meist unerlässlich, auf
mehreren Prozessoren zu rechnen. Da DNS-Codes typischerweise auf
strukturierten Gittern arbeiten und sich damit gut vektorisieren
lassen, kann auf Vektorrechnern (z. B. Earth Simulator oder NEC-SX8)
eine hohe Rechenleistung erreicht werden, die teilweise über 50 % der
theoretischen Rechenleistung erreicht. Unstrukturierte Verfahren
konnten sich bislang in DNS-Codes nicht durchsetzen, da die größere
Flexibilität im Hinblick auf die Geometrie zu Lasten der
Rechengeschwindigkeit geht.
Räumliche und zeitliche Simulationen
======================================
Wie in der Linearen Stabilitätstheorie unterscheidet man zwischen
zeitlichem und dem räumlichen Problem. Bei einer zeitlichen Simulation
werden Störungen, die über den Ausströmrand das Integrationsgebiet
verlassen, am Einströmrand wieder eingebracht. Dies bedeutet, dass
Störungen in der Zeit bis zur Sättigung anwachsen. Hintergrund dieser
Vorgehensweise ist die Tatsache, dass aus mathematischer Sicht wegen
des parabolischen Charakters der viskosen Terme auch am Ausströmrand
Randbedingungen vorzugeben sind. Durch einen periodischen Ansatz in
Strömungsrichtung wird das Problem umgangen, die in der Regel
unbekannten passenden Randbedingungen vorzugeben. Ein Problem hierbei
ist natürlich die Tatsache, dass die Strömung am Ausströmrand nicht
den gleichen Zustand wie am Einströmrand aufweist. So wächst etwa eine
Grenzschicht in Stromabrichtung an oder in einem Kanal sorgt ein
Druckgradient dafür, dass die Strömung nicht zum Erliegen kommt.
Deshalb sind die Störgrößen entsprechend zu skalieren, bevor sie am
Einströmrand aufgeprägt werden können. Trotz der Probleme und
Einschränkungen des zeitlichen Modells wird es bis heute verwendet, da
mit einem relativ kleinen Integrationsgebiet eine turbulente Strömung
berechnet werden kann.
Bei einer räumlichen Simulation hingegen werden Ein- und Ausströmrand
getrennt voneinander betrachtet. Damit wachsen Störungen räumlich an
(mit Ausnahme vom Auftreten einer absoluten Instabilität) was deutlich
besser die Realität wiedergibt. In einer Grenzschicht etwa werden
Tollmien-Schlichting-Wellen stromab transportiert, während sie
anwachsen, was einer Zunahme der Amplitude in Stromab-Richtung
entspricht. Nach ausreichender Simulationszeit erreichen die Störungen
bei zeitlich periodischer Störungsanregung einen in der Zeit
periodischen Zustand. Besonders wichtig ist bei einer räumlichen
Simulation die Modellierung eines geeigneten Ausströmrandes, da ein
Auftreffen von nichtlinearen Störungen auf den Ausströmrand
Reflexionen verursachen würde, was wiederum zu unphysikalischen
Ergebnissen führt. Anfangs wurde das Integrationsgebiet mit der Zeit
in Stromab-Richtung verlängert, so dass Störungen nie den nach hinten
laufenden Ausströmrand erreichen konnten. Diese Methode wird jedoch
mit zunehmender Simulationsdauer immer aufwändiger. Der Durchbruch der
räumlichen Simulation gelang erst mit der Entwicklung von geeigneten
Dämpfungszonen vor dem Ausströmrand. Heutzutage wird zum Großteil das
räumliche Modell verwendet.
Anfangsbedingungen
====================
Als Anfangsbedingung wird typischerweise eine Lösung der
Grenzschichtgleichungen verwendet, da diese eine gute Approximation
einer laminaren reibungsbehafteten Strömung darstellen. Bei einer
Plattengrenzschicht können selbstähnliche Profile (Blasius oder
Falkner-Skan) auf das Rechengitter interpoliert werden. Handelt es
sich um komplexere Geometrien, so sind die Grenzschichtgleichungen in
Stromabrichtung zu integrieren. Ist dies nicht möglich, z. B. wegen
Rückströmung, so kann das Strömungsfeld auch mit einfachen Annahmen
initialisiert werden, da bei sauberen Randbedingungen Anfangsstörungen
aus dem Integrationsgebiet herauslaufen sollten.
Randbedingungen
=================
Für eine Wand lassen sich die Randbedingungen vergleichsweise einfach
formulieren. Aufgrund der Reibung sind die drei
Geschwindigkeitskomponenten an der Wand Null (Haftbedingung). Im
kompressiblen Fall ist eine weitere Randbedingung für die Temperatur
zu geben, die wahlweise isotherm oder adiabat sein kann. Isotherm
bedeutet, dass die Temperatur fest vorgeschrieben ist, adiabat, dass
der Wärmestrom und damit der wandnormale Temperaturgradient null ist.
Außerdem können Aktuatoren an der Wand platziert werden, wie z. B. ein
Störstreifen zur Störungsanregung, um das Verhalten bestimmter
Störmoden zu untersuchen.
Am Einströmrand sind bei inkompressiblen Rechnungen und im Überschall
sämtliche Strömungsgrößen vorzuschreiben. Bei kompressiblen Rechnungen
im Unterschall ist z. B. durch eine charakteristische Randbedingung
dafür zu sorgen, dass stromauflaufende Schallwellen das
Integrationsgebiet verlassen können. Der Einströmrand eignet sich
auch, um definierte Störungen einzubringen. Bei kleinen Störungen kann
hierzu z. B. auf Amplituden- und Phasenverläufe aus der Linearen
Stabilitätstheorie zurückgegriffen werden.
Problematisch sind grundsätzlich Randbedingungen, die sich nur
aufgrund des endlichen Rechengitters ergeben. Während bei
RANS-Rechnungen typischerweise nur die stationären
Freistrombedingungen vorgeschrieben werden, ist aufgrund der
instationären Lösung die Wahl geeigneter Randbedingungen für den
Erfolg einer DNS entscheidend. Eine besondere Bedeutung kommt hierbei
dem Ausströmrand zu, da Reflexionen aufgrund der nichtlinearen
Fluktuationen das Ergebnis signifikant verfälschen können. Hierzu
wurden in der Vergangenheit verschiedene Dämpfungszonen entwickelt, in
denen z. B. die Lösung auf eine stationäre Grundströmung gezogen wird.
Insbesondere für aeroakustische Rechnungen ergeben sich besonders
strenge Anforderungen an den Ausströmrand, da der betrachtete Schall
um Größenordnungen kleiner als die strömungsmechanischen Schwankungen
ist. Eine Möglichkeit ist hierbei die Kombination von Gitterstreckung
und räumlichem Tiefpassfilter, wodurch instationäre Anteile in der
Dämpfungszone sukzessive aus der Lösung zu entfernen werden, bevor
diese am eigentlichen Rand Reflexionen verursachen und das
empfindliche akustische Feld kontaminieren können.
Freistromränder sind grundsätzlich weniger kritisch als
Ausströmränder, da die auftretenden Amplituden deutlich geringer sind
als beim Ausströmrand.
Allerdings können ungeeignete Randbedingungen zu falschen
Anfachungsraten der Störwellen führen oder die richtige Lösung
erfordert ein zu großes Integrationsgebiet. Aufgrund der kleinen
Schwankungen basieren die Freistromränder typischerweise auf
linearisierte Formulierungen, wie z. B. Abkling- oder
charakteristische Randbedingungen. Wird Periodizität in Querrichtung
angenommen, stellt sich die Frage nach passenden Randbedingungen an
dieser Stelle nicht.
Skalierung des Problems mit der Reynolds-Zahl
======================================================================
Die aufzulösenden Skalen werden durch die Physik bestimmt. Das
Rechengitter definiert, welche Skalen bei einem bestimmten numerischen
Verfahren aufgelöst werden können. Die sich daraus ergebende
erforderliche Schrittweite muss somit in der Größenordnung von
(proportional zu und nicht gleich) den kleinsten Skalen sein, die
durch die Kolmogorow-Längenskala
:
bestimmt werden, wobei die kinematische Viskosität und ε die
Dissipationsrate der kinetischen Energie ist. Bei einer räumlichen
Schrittweite 'h' ist die Anzahl der Punkte 'N' in einer Raumrichtung
:.
Die Dissipationsrate ε der kinetischen Energie lässt sich mit dem
RMS-Wert der Geschwindigkeitsschwankung u' abschätzen zu
:.
Somit ergibt sich für die Anzahl der benötigten Punkte in einer
Raumrichtung
:
mit der Reynolds-Zahl
:.
Unterliegen alle drei Raumrichtungen der Skalierung mit der
Reynolds-Zahl, so wächst die Gesamtanzahl der benötigten Punkte mit
Re9/4. Geht man von periodischen Randbedingungen in spannweitiger
Richtung aus, so ist eine Skalierung der Punkte in dieser Richtung mit
Re3/4 nicht zwingend erforderlich, wodurch die Gesamtauflösung nur
noch mit Re3/2 skaliert. Dies kann sich weiter reduzieren, da z. B.
die Grenzschichtdicke nicht linear mit der Stromabrichtung anwächst,
weshalb die Anzahl der Punkte in wandnormaler Richtung schwächer als
mit Re3/4 skalieren kann. Die zu simulierende Zeit ist proportional
der turbulenten Längenskala τ, die durch
:
gegeben ist. Unter der Annahme, dass das Zeitschrittlimit durch
konvektive Terme dominiert wird (Δt ∼ h ∼ η/u'), ergibt sich die
Anzahl der Zeitschritte zu
:
das heißt, die Anzahl der zu rechnenden Zeitschritte skaliert mit der
Potenz ¾ der Reynolds-Zahl.
Somit ist der gesamte Rechenaufwand proportional zu Re3 für ein
voll-dreidimensionales Integrationsgebiet ohne spannweitige
Periodizität.
Bei einem Skalierungsfaktor des Gesamtproblems von Re9/4
beziehungsweise Re3 erscheint eine Anwendung der DNS auf
praxisrelevante Probleme auf den ersten Blick als ausgeschlossen. Eine
Auswertung so großer Datenmengen (man beachte, dass es sich hierbei um
instationäre Probleme handelt) erscheint auch nicht praktikabel. Bei
der DNS geht es jedoch nicht darum, etwa ein komplettes Flugzeug zu
simulieren, vielmehr ist man an den physikalischen Grundlagen
interessiert, durch deren Verständnis auch ein Gesamtsystem mit hohen
Reynolds-Zahlen, wie zum Beispiel das Profil eines Tragflügels,
verbessert werden kann. Entwickelt man etwa Methoden zur
Laminarhaltung, so ist es ausreichend, den relevanten Bereich der
Grenzschicht zu simulieren, um damit den Widerstand des gesamten
Flugzeugs zu verringern.
Auswertung der Ergebnisse
======================================================================
Da man aus der DNS instationäre Daten von großen Gebieten erhält (um
die 100 Millionen Gitterpunkte für die Raumauflösung sind durchaus
üblich), fallen riesige Datenmengen von etlichen Gigabyte an. Daraus
sind natürlich nicht direkt Aussagen über die physikalischen Vorgänge
ableitbar, es bedarf einer Auswertung der Daten (postprocessing). Da
beim räumlichen Modell der zeitliche Verlauf nach genügend gerechneten
Zeitschritten periodisch oder zumindest quasi-periodisch ist, bietet
es sich an, die Daten mittels Fourieranalyse zu untersuchen. Dabei
wird bei periodischen Randbedingungen in Spannweitenrichtung häufig
eine doppelspektrale Analyse durchgeführt. Die resultierenden Moden
werden mit (h,k) bezeichnet, wobei h ein Vielfaches der Grundfrequenz
und k ein Vielfaches der spannweitigen Grundwellenzahl
ist, welche sich aus der spannweitigen Ausdehnung λz des
Integrationsgebiets ergibt. So bezeichnen die Moden (0,1), (0,2) usw.
stationäre Störungen, die über der dritten Raumrichtung modelliert
sind. Entsprechend wird eine zweidimensionale Störung mit der
Fundamentalfrequenz mit (1,0) und ihre Höherharmonischen mit (2,0),
(3,0) usw. bezeichnet. Das Wachstum der Amplituden in
Strömungsrichtung sowie der Amplituden- bzw. Phasenverlauf normal dazu
kann auch mit Ergebnissen der linearen Stabilitätstheorie verglichen
werden.
Im turbulenten Bereich sind Amplitudenverläufe in der Regel weniger
aussagekräftig, da eine Vielzahl der Moden die Sättigung erreicht hat.
Deshalb werden Wirbel z. B. mit Hilfe des lambda2-Kriteriums
visualisiert, um einen besseren Einblick in die strömungsmechanischen
Mechanismen zu erhalten. Das Bild zeigt beispielhaft dreidimensionale
Wirbelstrukturen in einer Scherschicht mittels Isoflächen des
lambda2-Kriteriums.
Durch das Einbringen stationärer spannweitiger Störungen werden
Längswirbel erzeugt, die zum Zusammenbrechen der
Kelvin-Helmholtz-Wirbel führen. Um bei aeroakustischen Rechnungen die
Schallabstrahlung darzustellen, kann man den Druck selbst, aber auch
die Dilatation, die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes, darstellen.
Einen schönen Eindruck vermitteln Dichtegradienten, da man damit
Schlierenbilder erzeugen kann. Ein Auswerteprogramm ist z. B. EAS3,
das an verschiedenen Universitäten zur Auswertung von DNS-Daten
eingesetzt wird.
Anfänge
=========
Den Beginn der numerischen Strömungsmechanik stellt die Berechnung
eines Kreiszylinders mit Re=10 aus dem Jahre 1933 dar. Thom erzielte
die Lösung durch Handrechnung mittels eines Differenzenverfahrens,
welche bereits erstaunlich genau war.
Von einer ersten DNS im eigentlichen Sinn kann man bei der Simulation
von Orszag & Patterson aus dem Jahre 1972 sprechen, die isentrope
Turbulenz bei Re=35 auf einem 323 Gitter mit spektralen Methoden
berechneten.
Die erste räumliche DNS stammt von Fasel aus dem Jahre 1976. In dieser
wurde das Wachstum kleiner Störungen in einer Grenzschicht untersucht
und mit der Linearen Stabilitätstheorie verglichen. Die turbulente
Strömung in einem ebenen Kanal mit Re=3300 und periodischen
Randbedingungen in Strömungsrichtung wurde von Kim et al. im Jahr 1987
auf einem Gitter mit bereits 4 Millionen Punkten berechnet. Im Jahr
1988 veröffentlichte Spalart DNS-Ergebnisse einer turbulenten
Grenzschicht mit Reθ = 1410 (θ steht hierbei für die
Impulsverlustdicke der Grenzschicht), denen ebenfalls das zeitliche
Modell zugrunde liegt.
Ein Durchbruch bei der Anwendung des räumlichen Modells gelang Anfang
der 1990er Jahre mit der Entwicklung passender Dämpfungszonen vor dem
Ausströmrand, z. B. durch Kloker et al.
Mithilfe entsprechender Randbedingungen konnten Colonius et al. 1997
eine der ersten akustischen DNS durchführen, wobei der abgestrahlte
Schall der simulierten freien Scherschicht direkt mittels der
Navier-Stokes-Gleichungen und nicht nach einer akustischen Analogie
berechnet wurde.
Supercomputer
===============
Wenngleich Supercomputer nur begrenzt für Aufgabenstellungen aus der
Direkte Numerische Simulation eingesetzt werden können, lassen sich
mit ihnen hohe Netzgrößen erreichen, wie Forschungsarbeiten zeigen.
2002: 40963 ≈ 68,7 Milliarden Gitterpunkte
=======================================================
Einen großen Sprung der DNS, bezogen auf die räumliche Auflösung,
bedeutet eine Rechnung von Kaneda und Ishihara aus dem Jahr 2002, die
auf dem Earth Simulator in Japan durchgeführt wurde. Sie verwendeten
40963 ≈ 68,7 Milliarden Gitterpunkte zur Simulation von isentroper
Turbulenz in einem periodischen Integrationsgebiet. Der große
Fortschritt, der im Bereich der DNS erzielt wurde, basiert natürlich
zum einen auf den stetig steigenden Rechnerkapazitäten, aber ebenso
auf den entwickelten numerischen Verfahren, die eine effektive Nutzung
dieser Ressourcen erst ermöglichen.
2014: 122883
=========================
Unter Verwendung des K-Computers.
2025: 327683 ≈ 35 Billionen Gitterpunkte
=====================================================
Auf dem Frontier-Supercomputer unter Verwendung von einer Vielzahl von
GPUs.
Zunehmende Eignung kleinerer Systeme
======================================
Mit dem Aufkommen von GPUs ließen sich größere Direkte Numerische
Simulationen auch auf kleinen Systemen gut lösen, wie eine Studie aus
dem Jahr 2020 zeigte. Selbst eine einzelne GPU war zu diesem Zeitpunkt
bereits gut geeignet, zudem entwickelten sich GPU-basierte Systeme
schneller als reine CPU-basierte Computer. Die Autoren der Studie
weisen darauf hin, dass die verwendete Open-Source Software für die
Simulation einen Speicherbedarf von 10 Gigabyte für ein 1008×251×234
Gitterpunkte großes Gitternetz hat.
Anwendungsgebiete
======================================================================
Grenzschichtablösung an einem Profil.
Ein Beispiel für die Anwendung ist die Ablösung einer Grenzschicht
aufgrund eines der Strömung entgegenwirkenden Druckgradienten. Durch
das Anregen der Grenzschicht mit bestimmten Störungen wird versucht,
Ablöseblasen zu verkleinern oder ganz zu vermeiden.
Anwendungsbeispiele sind etwa Turbinenschaufeln oder die Tragflügel am
Flugzeug. Wäre man in der Lage, den Strömungsabriss bei hohem
Anstellwinkel zu vermeiden, könnten höhere Auftriebsbeiwerte erzielt
werden und man könnte auf Landeklappen verzichten.
Ein weiteres Thema ist die Laminarhaltung, bei der versucht wird, die
Grenzschicht über den natürlichen Bereich hinaus laminar zu halten und
den Umschlag von laminar zu turbulent herauszuzögern. Dies geschieht
z. B. mit Absaugung oder dem Einbringen von Längswirbeln in die
Grenzschicht. Da eine laminare Grenzschicht einen geringeren
Widerstand als eine turbulente aufweist, könnte dadurch der
Kerosinverbrauch von Flugzeugen um bis zu 15 % reduziert werden.
In der Aeroakustik werden die Mechanismen der Schallentstehung,
verursacht durch strömungsmechanische Prozesse, untersucht. Ziel ist
es dabei, den abgestrahlten Schall durch entsprechende Aktuatoren zu
reduzieren. Die Aeroakustik ist ein relativ neues Feld im Bereich der
DNS, da es als Mehrskalenproblem relativ schwierig zu lösen ist. Die
strömungsmechanischen Fluktuationen, z. B. in einer freien
Scherschicht, haben große Amplituden mit einer kleinen räumlichen
Ausdehnung. Der abgestrahlte Schall dagegen ist relativ langwellig mit
einer äußerst geringen Amplitude. Daraus ergibt sich, dass besondere
Anforderungen (Randbedingungen, Genauigkeit) an ein numerisches
Verfahren zu stellen sind, um die Ergebnisse nicht z. B. durch
Reflexionen zu verfälschen.
Ein wichtiger Teilaspekt ist der Strahllärm, da er eine der
Hauptlärmquellen eines Flugzeugs - insbesondere während des Starts -
ist. Ein Durchbruch auf diesem Gebiet würde die Lebensqualität vieler
Anwohner von Flughäfen erhöhen. Aufgrund von Auflagen wie z. B.
Nachtflugverbot oder lärmabhängigen Start-/Landegebühren sind aber
auch Fluggesellschaften und Flughafenbetreiber an einer Verringerung
des Fluglärms interessiert.
Im Bereich des Über- und Hyperschalls ist es erforderlich, nicht nur
zeitlich gemittelte Größen, sondern auch instationäre Vorgänge in der
Grenzschicht abzubilden, da hohe thermische Belastungen die Struktur
zerstören können. Die DNS wird dabei für Grundlagenuntersuchungen des
laminar-turbulenten Umschlags oder zur Entwicklung von Kühlkonzepten
eingesetzt. Um Effekte im Hyperschall zu berücksichtigen, werden
mittlerweile auch komplexere Gleichungen verwendet, die chemische
Reaktionen wie Dissoziation oder Ionisation, sowie thermisches
Nichtgleichgewicht berücksichtigen.
Die DNS ist auch ein wichtiges Werkzeug für die Modellbildung. Dabei
werden die hochaufgelösten instationären Strömungsdaten für die
Weiterentwicklung von Turbulenzmodellen verwendet, um so weniger
rechenintensive Verfahren wie Large-Eddy-Simulation oder
RANS-Rechnungen zu verbessern. Außerdem können damit die Ergebnisse
neuer Methoden der Strömungsmechanik validiert werden.
Siehe auch
======================================================================
* Large Eddy Simulation
* Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen
Literatur
======================================================================
* Parviz Moin, Krishnan Mahesh: 'Direct Numerical Simulation. A Tool
in Turbulence Research.' In: 'Annual Review of Fluid Mechanics.' Vol.
30, 1998, S. 539-578, doi:10.1146/annurev.fluid.30.1.539.
*
*
*
*
Weblinks
======================================================================
*
Kategorie:Strömungsmechanik
Kategorie:Numerische Mathematik
Kategorie:Computer Aided Engineering
License
=========
All content on Gopherpedia comes from Wikipedia, and is licensed under CC-BY-SA
License URL: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
Original Article: http://en.wikipedia.org/wiki/Direkte_Numerische_Simulation
.